Floyd算法

摘自：百度百科：http://baike.baidu.com/view/14495.htm

百科名片

弗洛伊德算法

Floyd 又称为 ，插点法，是一种用于寻找给定的 中顶点间 的算法。该 名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授 命名。

核心思路

通过一个图的权值 求出它的每两点间的 。

从图的带权 A=[a(i,j)] n×n开始， 地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出 D(n)。 D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的 长度，称D(n)为图的 ，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以 为O(n^3);

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举

i,j的

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路

算法过程

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

===

把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。

定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

时间复杂度

O(n^3)

优缺点分析

Floyd 适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划 ，稠密图效果最佳，边权可正可负。此 简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次 。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单

缺点： 比较高，不适合计算大量数据。

概述

Floyd 又称为 ，插点法，是一种用于寻找给定的 中顶点间最短路径的 。

算法描述

a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[I,j]:=D[I,k]+D[k,j];

c)　 结束：D即为所有点对的最短路径矩阵